n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：
(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ )
若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。
【例】关键字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分别满足堆性质(1)和(2)，故它们均是堆，其对应的完全二叉树分别如小根堆示例和大根堆示例所示。
2、大根堆和小根堆
根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆。
根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆。
注意：
①堆中任一子树亦是堆。
②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。
3、堆排序特点
堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。
堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系【参见二叉树的顺序存储结构】，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。
4、堆排序与直接插入排序的区别
直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比 较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行 了这些比较操作。
堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。
5、堆排序
堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。
1 /*
2 堆排序
3 (1)用大根堆排序的基本思想
4 ① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
5 ② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，
6 由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
7 ③ 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。
8 然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，
9 由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n- 2].keys≤R[n-1..n].keys，
10 同样要将R[1..n-2]调整为堆。
11 ……
12 直到无序区只有一个元素为止。
13 (2)大根堆排序算法的基本操作：
14 ① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
15 ② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。
16 注意：
17 ①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
18 ②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。
19 堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，
20 且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。
21 */
22
23 //生成大根堆
24 void HeapAdjust(int SortData[],int StartIndex, int Length)
25 {
26 while(2*StartIndex+1 < Length)
27 {
28 int MinChildrenIndex = 2*StartIndex+1 ;
29 if(2*StartIndex+2 < Length )
30 {
31 //比较左子树和右子树，记录最大值的Index
32 if(SortData[2*StartIndex+1]<SortData[2*StartIndex+2])
33 {
34 MinChildrenIndex = 2*StartIndex+2;
35 }
36 }
37 if(SortData[StartIndex] < SortData[MinChildrenIndex])
38 {
39 //交换i与MinChildrenIndex的数据
40 int tmpData =SortData[StartIndex];
41 SortData[StartIndex] =SortData[MinChildrenIndex];
42 SortData[MinChildrenIndex] =tmpData;
43 //堆被破坏，需要重新调整
44 StartIndex = MinChildrenIndex ;
45 }
46 else
47 {
48 //比较左右孩子均大则堆未破坏，不再需要调整
49 break;
50 }
51 }
52
53 return;
54 }
55
56 //堆排序
57 void HeapSortData(int SortData[], int Length)
58 {
59 int i=0;
60
61 //将Hr[0,Lenght-1]建成大根堆
62 for (i=Length/2-1; i>=0; i--)
63 {
64 HeapAdjust(SortData, i, Length);
65 }
66
67 for (i=Length-1; i>0; i--)
68 {
69 //与最后一个记录交换
70 int tmpData =SortData[0];
71 SortData[0] =SortData[i];
72 SortData[i] =tmpData;
73 //将H.r[0..i]重新调整为大根堆
74 HeapAdjust(SortData, 0, i);
75 }
76
77 return;
78 }
2 堆排序
3 (1)用大根堆排序的基本思想
4 ① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
5 ② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，
6 由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
7 ③ 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。
8 然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，
9 由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n- 2].keys≤R[n-1..n].keys，
10 同样要将R[1..n-2]调整为堆。
11 ……
12 直到无序区只有一个元素为止。
13 (2)大根堆排序算法的基本操作：
14 ① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
15 ② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。
16 注意：
17 ①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
18 ②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。
19 堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，
20 且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。
21 */
22
23 //生成大根堆
24 void HeapAdjust(int SortData[],int StartIndex, int Length)
25 {
26 while(2*StartIndex+1 < Length)
27 {
28 int MinChildrenIndex = 2*StartIndex+1 ;
29 if(2*StartIndex+2 < Length )
30 {
31 //比较左子树和右子树，记录最大值的Index
32 if(SortData[2*StartIndex+1]<SortData[2*StartIndex+2])
33 {
34 MinChildrenIndex = 2*StartIndex+2;
35 }
36 }
37 if(SortData[StartIndex] < SortData[MinChildrenIndex])
38 {
39 //交换i与MinChildrenIndex的数据
40 int tmpData =SortData[StartIndex];
41 SortData[StartIndex] =SortData[MinChildrenIndex];
42 SortData[MinChildrenIndex] =tmpData;
43 //堆被破坏，需要重新调整
44 StartIndex = MinChildrenIndex ;
45 }
46 else
47 {
48 //比较左右孩子均大则堆未破坏，不再需要调整
49 break;
50 }
51 }
52
53 return;
54 }
55
56 //堆排序
57 void HeapSortData(int SortData[], int Length)
58 {
59 int i=0;
60
61 //将Hr[0,Lenght-1]建成大根堆
62 for (i=Length/2-1; i>=0; i--)
63 {
64 HeapAdjust(SortData, i, Length);
65 }
66
67 for (i=Length-1; i>0; i--)
68 {
69 //与最后一个记录交换
70 int tmpData =SortData[0];
71 SortData[0] =SortData[i];
72 SortData[i] =tmpData;
73 //将H.r[0..i]重新调整为大根堆
74 HeapAdjust(SortData, 0, i);
75 }
76
77 return;
78 }